結論から言って、NOです。
クォーターホースは1940年に設立された
American Quarter Horse Association（AQHA）が血統登録をはじめました。
また、
National Quarter Horse Registry（NQHR）という血統登録もあって1956年からです。
血統登録つまり品種の成立は第二次世界大戦前後から以降です。
何の馬をクォーターホースとするかは、レース競技との兼ね合いもあって紛糾しました。
西部劇では闊歩していますが、西部開拓時代に闊歩していたわけではありません。
南北戦争時代に騎兵馬として使われた品種のモルガンは、1790年にまで遡れます。
西部劇では、「結構なクォーターホースだな。買いたいのだが」などというやり取りは出来ません。
レース馬になるという意味で、「結構なクォーターホースになりそうだ。買いたいのだが」というやり取りなら自然でしょうね。
ピント（ペイントホース）の作出は1963年。
アパルーサも血統としては1938年に作出です。「アパルーサの決闘」という映画がありますが、町の名前であって馬の品種とは関係がないことになっています。
